EXERCICE 5 SERIE 1:

Exercice 5.

Soit $(H,\Vert \cdot \Vert )$ un $\mathbb{R}$-espace de Hilbert de dimension quelconque et $(E_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ une famille de sous-espaces vectoriels fermés de $H$ constituant une somme Hilbertienne de $H$. Pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ on définit l'application $S_k:H\to H$ par : $S_k={\sum }_{n=1}^k{P}_{E_n}$.

Soit $u\in H$. Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, posons $u_n=P_{E_n}(u)$.

1. Montrer que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a $\Vert S_k(u){\Vert }^2={\sum }_{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2$.

2. En déduire que pour tout $u\in H$, on a $\Vert S_k(u)\Vert \le \Vert u\Vert$.

3. Soit $F=\text{Vect}({\bigcup }_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{E}_n)$ et $\epsilon >0$.

(i) Montrer qu'il existe $u_{\epsilon }\in F$ tel que $\Vert u-u_{\epsilon }\Vert \le \frac{\epsilon }{2}$.

(ii) Montrer qu'il existe $k_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ avec $k>k_0$, on a $S_k(u_{\epsilon })=u_{\epsilon }$.

4. En déduire que

$$\underset{k\to +\infty }{\lim }{S}_k(u)=u=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n.$$

5. Montrer que

$$\Vert u{\Vert }^2=\sum _{n=1}^{+\infty }\Vert u_n{\Vert }^2.$$

CORRIGER:

Pour corriger les questions 1 et 2 de l'exercice, nous allons procéder étape par étape.

Question 1

On doit montrer que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a $\Vert S_k(u){\Vert }^2={\sum }_{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2$.

Correction :

Puisque $(E_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ constitue une somme Hilbertienne, les sous-espaces $E_n$ sont deux à deux orthogonaux. Cela signifie que pour $m\ne n$, $P_{E_m}(u)$ est orthogonal à $P_{E_n}(u)$. Ainsi, $u_m$ est orthogonal à $u_n$ pour $m\ne n$.

L'application $S_k$ est définie comme la somme des projections orthogonales $P_{E_n}$ sur les $k$ premiers sous-espaces $E_n$. Donc, $S_k(u)={\sum }_{n=1}^k{P}_{E_n}(u)={\sum }_{n=1}^k{u}_n$.

La norme au carré de $S_k(u)$ dans un espace de Hilbert est égale à la somme des normes au carré des composantes orthogonales, donc :

$$\Vert S_k(u){\Vert }^2={\Vert \sum _{n=1}^k{u}_n\Vert }^2=\sum _{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2$$

Cela est dû au fait que les termes croisés dans l'expansion du carré de la norme sont nuls à cause de l'orthogonalité des $u_n$.

Question 2

On doit déduire que pour tout $u\in H$, on a $\Vert S_k(u)\Vert \le \Vert u\Vert$.

Correction :

D'après la question 1, nous avons que $\Vert S_k(u){\Vert }^2={\sum }_{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2$. Puisque $(E_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ est une somme Hilbertienne de $H$, la somme des projections ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ converge vers $u$ dans $H$. Cela implique que la série des normes au carré ${\sum }_{n=1}^{\infty }\Vert u_n{\Vert }^2$ converge et est bornée par $\Vert u{\Vert }^2$, car c'est la norme au carré de la somme des projections orthogonales qui reconstituent $u$.

Ainsi, pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on a :

$$\Vert S_k(u){\Vert }^2=\sum _{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2\le \sum _{n=1}^{\infty }\Vert u_n{\Vert }^2\le \Vert u{\Vert }^2$$

En prenant la racine carrée des deux côtés de l'inégalité, on obtient :

$$\Vert S_k(u)\Vert \le \Vert u\Vert$$

Cela montre que l'application $S_k$ est une contraction pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Pour corriger la question 3 de l'exercice, nous allons procéder étape par étape.

Question 3

(i) Montrer qu'il existe $u_{\epsilon }\in F$ tel que $\Vert u-u_{\epsilon }\Vert \le \frac{\epsilon }{2}$.

(ii) Montrer qu'il existe $k_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ avec $k>k_0$, on a $S_k(u_{\epsilon })=u_{\epsilon }$.

Correction :

(i) Puisque $F$ est défini comme le sous-espace vectoriel engendré par l'union de tous les $E_n$, et que $(E_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ constitue une somme Hilbertienne de $H$, pour tout $u\in H$ et pour tout $\epsilon >0$, il existe une combinaison finie des $u_n$ qui approche $u$ à $\epsilon /2$ près. Cela est dû au fait que la somme des projections ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$ converge vers $u$ dans $H$. Donc, il existe un $u_{\epsilon }\in F$ tel que $\Vert u-u_{\epsilon }\Vert \le \frac{\epsilon }{2}$.

(ii) Puisque $u_{\epsilon }$ est une combinaison finie des éléments de $E_n$, il existe un $k_0$ tel que pour tout $k>k_0$, $u_{\epsilon }$ est déjà dans la somme des $k$ premiers $E_n$, et donc $S_k(u_{\epsilon })=u_{\epsilon }$. Cela signifie que $u_{\epsilon }$ est fixe par les applications $S_k$ pour $k$ assez grand, car $u_{\epsilon }$ est dans l'espace engendré par les $k$ premiers $E_n$ et $S_k$ est simplement la projection sur cet espace.

Question 4

On doit déduire que

$$\underset{k\to +\infty }{\lim }{S}_k(u)=u=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n.$$

Correction :

Pour démontrer cette égalité, nous allons utiliser les résultats des questions précédentes. D'après la question 3, pour tout $\epsilon >0$, il existe $u_{\epsilon }\in F$ et $k_0\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que :

• $\Vert u-u_{\epsilon }\Vert \le \frac{\epsilon }{2}$
• Pour tout $k>k_0$, $S_k(u_{\epsilon })=u_{\epsilon }$

Maintenant, pour $k>k_0$, nous avons :

$$\Vert S_k(u)-u\Vert =\Vert S_k(u-u_{\epsilon }+u_{\epsilon })-u\Vert =\Vert S_k(u-u_{\epsilon })+S_k(u_{\epsilon })-u\Vert$$

Puisque $S_k(u_{\epsilon })=u_{\epsilon }$ pour $k>k_0$, cela se simplifie en :

$$\Vert S_k(u)-u\Vert =\Vert S_k(u-u_{\epsilon })+u_{\epsilon }-u\Vert =\Vert S_k(u-u_{\epsilon })-(u-u_{\epsilon })\Vert$$

En utilisant la propriété de contraction de $S_k$ (question 2), nous obtenons :

$$\Vert S_k(u)-u\Vert \le \Vert u-u_{\epsilon }\Vert \le \frac{\epsilon }{2}$$

Comme $\epsilon$ est arbitraire, cela implique que $S_k(u)$ converge vers $u$ lorsque $k$ tend vers l'infini. De plus, puisque $u$ est la somme des projections $u_n$, nous avons :

$$\underset{k\to +\infty }{\lim }{S}_k(u)=u=\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n.$$

Question 5

Montrer que

$$\Vert u{\Vert }^2=\sum _{n=1}^{+\infty }\Vert u_n{\Vert }^2.$$

Correction :

Nous savons déjà que $S_k(u)$ converge vers $u$ et que $\Vert S_k(u){\Vert }^2={\sum }_{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2$ d'après la question 1. Comme $k$ tend vers l'infini, la somme partielle ${\sum }_{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2$ tend vers la somme totale ${\sum }_{n=1}^{+\infty }\Vert u_n{\Vert }^2$.

De plus, la convergence de $S_k(u)$ vers $u$ dans un espace de Hilbert implique la convergence de la norme, c'est-à-dire :

$$\underset{k\to +\infty }{\lim }\Vert S_k(u)\Vert =\Vert u\Vert$$

En combinant ces résultats, nous obtenons :

$$\Vert u{\Vert }^2=\underset{k\to +\infty }{\lim }\Vert S_k(u){\Vert }^2=\underset{k\to +\infty }{\lim }\sum _{n=1}^k\Vert u_n{\Vert }^2=\sum _{n=1}^{+\infty }\Vert u_n{\Vert }^2$$

Cela démontre que la norme au carré de $u$ est égale à la somme des normes au carré de ses composantes $u_n$, ce qui est une propriété caractéristique des sommes Hilbertiennes.