Série 5

Exercice 1 : L'effet photoélectrique

1. Définir l'effet photoélectrique : interaction entre un photon incident et un électron lié à un atome (émission d'un électron si l'énergie du photon dépasse le travail d'extraction).
2. Établir l'énergie cinétique $T_k$ d'un électron de la couche $K$ après interaction par effet photoélectrique avec un photon d'énergie $E_{\gamma }$. $$T_k=E_{\gamma }-W_K$$ où $W_K$ est l'énergie de liaison de l'électron de la couche $K$.
3. Montrer que l'effet photoélectrique ne peut avoir lieu sur un électron libre (raison : conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement empêche l'émission d'un électron libre sans autre corps absorbant l'excès d'impulsion).

Exercice 2 : L'effet Compton

L'iode ${}^{123}I$ subit une désintégration ${\beta }^{-}$. Le noyau fils se désexcite en émettant un rayonnement $\gamma$ de $364,5\text{keV}$.

1. Calculer la longueur d'onde $\lambda$ du rayonnement émis. Utiliser $\lambda (\text{pm})=\frac{1240}{E(\text{keV})}$ ou la relation $\lambda =\frac{hc}{E}$.
2. Définir l'effet Compton : diffusion inélastique d'un photon sur un électron (le photon est décalé vers une plus grande longueur d'onde).
3. Calculer la longueur d'onde ${\lambda }^{\prime }$ du photon diffusé dans une direction formant un angle $\theta =20^{\circ }$ avec la direction incidente, en utilisant la formule de Compton : $${\lambda }^{\prime }=\lambda +\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta ).$$
4. Calculer l'énergie cinétique $T_e$ de l'électron Compton correspondant (par conservation de l'énergie) : $$T_e=E_{\gamma }-E_{\gamma }^{\prime }=hc\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^{\prime }}\right).$$
5. Ce photon diffusé est-il susceptible d'induire une réaction de matérialisation (production d'une paire $e^{-}{e}^{+}$) ? Justifier : la matérialisation requiert $E_{\gamma }^{\prime }\ge 2m_e{c}^2=1,022\text{MeV}$. Ici $E_{\gamma }^{\prime }=364,5\text{keV}<1,022\text{MeV}$ donc non.

Exercice 3 : Matérialisation

1. Montrer que la matérialisation d'un photon est impossible dans le vide (raison : conservation de l'énergie et de l'impulsion à deux corps ne permet pas simultanément transformation d'un photon en une paire sans présence d'un corps absorbant l'impulsion).
2. Déterminer l'énergie seuil $E_{\gamma ,\text{seuil}}$ pour matérialisation dans le champ coulombien d'un électron (processus à trois corps). Dériver la relation et citer la condition énergétique (on obtient en pratique $E_{\gamma ,\text{seuil}}\gg 1,022\text{MeV}$ — il faut tenir compte de l'impulsion transférée).
3. Déterminer l'énergie seuil $E_{\gamma ,\text{seuil}}$ pour matérialisation dans le champ d'un noyau au repos : seuil minimal $E_{\gamma }=2m_e{c}^2=1,022\text{MeV}$ (le noyau absorbe l'impulsion, donc seuil strictement égal à $2m_e{c}^2$ si on néglige le recul du noyau).

Exercice 4 : Atténuation des photons

Pour une mammographie on utilise des rayons $X$ d'énergie $E=20\text{keV}$. On sait que $3\text{cm}$ de tissu mammaire arrêtent $78\%$ de ces photons par effet photoélectrique.

1. Calculer le coefficient d'atténuation par effet photoélectrique ${\mu }_{PE}$ du tissu mammaire pour ces photons. $$I=I_0{e}^{-{\mu }_{PE}x},\frac{I}{I_0}=1-0,78=0,22$$ pour $x=3\text{cm}$ : $$0,22=e^{-{\mu }_{PE}\cdot 3}\Rightarrow {\mu }_{PE}=-\frac{1}{3}\ln (0,22).$$
2. Le coefficient d'atténuation global est ${\mu }_t=0,71{\text{cm}}^{-1}$. Calculer ${\mu }_C$ (Compton) : $${\mu }_C={\mu }_t-{\mu }_{PE}.$$

Exercice 5 : Lois d'atténuation des photons

Un faisceau de photons de $50\text{keV}$ traverse une lame d'épaisseur $e$ telle que la fraction transmise soit $1/2$. Le même panneau est traversé par des photons de $100\text{keV}$. On suppose que les interactions sont uniquement dues à l'effet photoélectrique.

1. De quoi dépend le coefficient d'absorption linéique $\mu$ ? Réponse brève : $\mu$ dépend de la nature du matériau (numéro atomique $Z$, densité), de l'énergie du photon $E$, et du mécanisme d'interaction (photoélectrique, Compton, etc.).
2. Quelle est la fraction transmise pour $100\text{keV}$ ? Si pour $50\text{keV}$ on a $e$ tel que $e^{-\mu (50)e}=\frac{1}{2}$, alors $\mu (50)e=\ln 2$. Si $\mu (E)$ suit la loi $\mu \propto E^{-3}$ (approx. pour l'effet photoélectrique), alors $\mu (100)=\mu (50)\times (50/100{)}^3=\mu (50)/8$. Donc $$\frac{I(100)}{I_0}=e^{-\mu (100)e}=e^{-\frac{\ln 2}{8}}=2^{-1/8}.$$

Exercice 6 : Loi d'atténuation de photons

On veut se protéger contre le rayonnement $\gamma$ d'une source de ${}^{60}\text{Co}$. On dispose de briques de plomb d'épaisseurs $2,4,6,8,10\text{cm}$. Le coefficient d'atténuation linéique du plomb est ${\mu }_{Pb}=0,79{\text{cm}}^{-1}$ pour des photons de $1\text{MeV}$.

1. Épaisseur minimale pour éliminer $75\%$ des $\gamma$ incidents ? $$\frac{I}{I_0}=1-0,75=0,25=e^{-\mu x}\Rightarrow x=-\frac{1}{\mu }\ln (0,25)=\frac{\ln 4}{\mu }.$$
2. Calculer la couche de demi-atténuation (épaiseur de demi-atténuation, HVT) : $$\text{HVT}=\frac{\ln 2}{\mu }.$$
3. Épaisseur minimale pour éliminer $75\%$ des $\gamma$ de $800\text{keV}$ ? $$x=-\frac{1}{\mu (800)}\ln (0,25).$$ (Il faut connaître $\mu$ à $800\text{keV}$. Si on n'a que $\mu (1\text{MeV})$, une interpolation est nécessaire.)

Exercice 7 : Loi d'atténuation d'un faisceau de photons

Un faisceau parallèle de rayons $X$ d'intensité $I_0$ traverse le milieu composé de plusieurs couches (voir schéma).

On donne les coefficients d'atténuation :

• Pour les photons de $20\text{keV}$ : ${\mu }_{\text{air}}=1,2\times 10^{-3}{\text{cm}}^{-1}$.
• Pour les photons de $80\text{keV}$ : ${\mu }_{\text{air}}=0,2\times 10^{-3}{\text{cm}}^{-1}$, ${\mu }_{\text{eau}}=0,7{\text{cm}}^{-1}$, ${\mu }_{\text{os}}=5{\text{cm}}^{-1}$.

1. Calculer le rapport $\frac{I}{I_0}$ pour les photons de $20\text{keV}$ en parcourant les différentes épaisseurs indiquées sur le schéma : $$\frac{I}{I_0}=\exp \left(-\sum _i{\mu }_i{x}_i\right).$$
2. Calculer le rapport $\frac{I_2}{I_0}$ pour les photons de $80\text{keV}$ en remplaçant les $\mu$ correspondants et les épaisseurs du schéma.